2015版九年级数学上册素材 22.3实际问题与一元二次方程 韦达定理及应用 新人教版

  • 来源:本站
  • 发布时间:2019-06-21
  • 100已阅读
您现在的位置:首页 >> 当代文学 >> 文章
简介 根与系数的关系及其应用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2-px+q=0

2015版九年级数学上册素材 22.3实际问题与一元二次方程 韦达定理及应用 新人教版

根与系数的关系及其应用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题,它是中学数学中的一个有用的工具.1.已知一个根,求另一个根利用韦达定理,我们可以通过方程的一个根,求出另一个根.例1方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a,方程x2+1998x-1999=0的小根为b,求a-b的值.解先求出a,b.由观察知,1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根,于是由韦达又从观察知,1也是方程x2+1998x-1999=0的根,此方程的另一根为-1999,从而b=-1999.所以a-b=1-(-1999)=2000.例2设a是给定的非零实数,解方程解由观察易知,x1=a是方程的根.又原方程等价于2.求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中,要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧.例3已知二次方程x2-3x+1=0的两根为α,β,求:(3)α3+β3;(4)α3-β3.解由韦达定理知α+β=3,αβ=1.(3)α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18;(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)=(α-β)[(α+β)2-αβ]例4设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β,求4α2+2β的值.解因为α是方程4x2-2x-3=0的根,所以4α2-2α-3=0,即4α2=2α+3.4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4.例5已知α,β分别是方程x2+x-1=0的两个根,求2α5+5β3的值.解由于α,β分别是方程x2+x-1=0的根,所以α2+α-1=0,β2+β-1=0,即α2=1-α,β2=1-β.α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α=-3(1-α)+2α=5α-3,β3=β2·β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1.所以2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21.说明此解法的关键在于利用α,β是方程的根,从而可以把它们的幂指数降次,最后都降到一次,这种方法很重要.例6设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根的和为s1,平方和为s2,立方和为s3,求as3+bs2+cs1的值.解设x1,x2是方程的两个实根,于是所以as3+bs2+cs1=0.说明本题最“自然”的解法是分别用a,b,c来表示s1,s2,s3,然后再求as3+bs2+cs1的值.当然这样做运算量很大,且容易出错.下面我们再介绍一种更为“本质”的解法.另解因为x1,x2是方程的两个实根,所以同理将上面两式相加便得as3+bs2+cs1=0.3.与两根之比有关的问题例7如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之比等于常数k,则系数a,b,c必满足:kb2=(k+1)2ac.证设方程的两根为x1,x2,且x1=kx2,由韦达定理由此两式消去x2得即kb2=(k+1)2ac.例8已知x1,x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m2=0解首先,△=(3m-5)2+96m2>0,方程有两个实数根.由韦达定理知。